Dos números reales distintos entre 0 y 1 están escritos en dos hojas de papel. Debe seleccionar una de las hojas al azar y declarar si el número que ve es el mayor o el menor de los dos. ¿Cómo se puede esperar ser correcto más de la mitad de las veces que juegas?

Hasta ahora, todas las respuestas aquí asumen que los dos números reales (llámelos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]) se eligen de manera uniforme al azar. Sin embargo, puede garantizar una tasa de ganancia [matemática]> 50 \% [/ matemática] (“sea correcto más de la mitad de las veces”) siempre que tenga acceso a bits aleatorios, incluso si su “oponente” (es decir, la persona que le da los números) conoce su estrategia y elige los valores para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] según su estrategia.

Para demostrar lo sorprendente que es esto, considere las estrategias proporcionadas en otras respuestas. Le dicen que simplemente diga “más grande” o “más pequeño” dependiendo de si el número fue mayor o menor que [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas], respectivamente. Sin embargo, tu oponente, conociendo esta estrategia, podría simplemente elegir [matemática] x = 0.1 [/ matemática] y [matemática] y = 0.2 [/ matemática] como los dos números que recibiste. Entonces tendrías exactamente [matemáticas] 50 \% [/ matemáticas] de ganar (debido a que puedes seleccionar la hoja de papel al azar).

Incluso si no se enfrentara a un oponente, sino simplemente una distribución de probabilidad desconocida para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], esa distribución de probabilidad podría tener [matemática] x, y <0.5 [/ matemáticas] siempre. Así que aquí hay otro caso en el que tendríamos exactamente [matemáticas] 50 \% [/ matemáticas] de posibilidades de ganar.

Volviendo al caso en el que tenemos un oponente, ¿qué sucede si en lugar de establecer [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas] como el umbral para decir “más grande” o “más pequeño”, establecemos algún otro valor como el umbral? Bueno, independientemente de lo que establezcamos como umbral, el oponente simplemente puede elegir dos números en un lado de ese umbral. Esto seguro parece inútil.

¡Excepto que no lo es! Aquí está el truco: ¿qué pasa si establecemos el umbral en un número aleatorio? ¡Entonces el oponente no podría saber que dos reales distintos estaban en el mismo lado del umbral! Técnicamente, lo que necesitamos es elegir un umbral al azar de tal manera que no importa cuáles sean [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], existe una probabilidad finita de que nuestro umbral aleatorio caiga entre ellos.

Así que aquí hay una posible estrategia: Primero, seleccione un número real, [matemática] t [/ matemática], uniformemente al azar en el rango [matemática] [0,1] [/ matemática]. Luego, diga “más grande” si el número en el papel que seleccionó es más grande que [math] t [/ math] y “más pequeño” de lo contrario.

Dado que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] están garantizadas para ser distintas, ninguna estrategia posible del oponente puede garantizar que [math] t [/ math] no se encuentre entre [math] x [ / math] y [math] y [/ math] (en cuyo caso, ganamos con [math] 100 \% [/ math] probabilidad). En los otros casos donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] caen en el mismo lado de [matemática] t [/ matemática], ganamos con [matemática] 50 \% [/ matemática] probabilidad. Por lo tanto, con esta estrategia, podemos “esperar ser correctos más de la mitad de las veces”.

Si quieres tener razón solo más de la mitad de las veces, es simple. Todo lo que supongo es que los dos números son aleatorios.

Solo mira si el número (be x) es mayor que 0.5 o no.

Si x> 0.5

Predecir que sería más grande.

Dado que el otro número se elige aleatoriamente entre 0 y 1, existe (x * 100)% de probabilidad de que sea menor que x (que es mayor que 50% desde x> 0.5) y (1-x) * 100 de probabilidad de estar equivocado (menos del 50% de probabilidad).

Si x <0.5

Predecir que sería más pequeño.

Similar al caso anterior, hay (1-x) * 100% de probabilidad de que el otro número sea mayor que x. En este caso, dado que x es menor que 0.5, sus posibilidades son mayores al 50%.

De esta manera, digas lo que digas, tienes más del 50% de posibilidades de tener razón.

Si hay algún patrón en la elección de los números, esto puede no proporcionar los resultados esperados, pero se podrían encontrar mejores métodos si se conoce el patrón.

ACTUALIZACIÓN: 1/3/15

Esta respuesta es incorrecta. Como, completamente equivocado. Trataría de arreglarlo, pero resulta que es fundamentalmente incorrecto, y realmente no hay forma de arreglarlo, salvo reescribir toda la respuesta. Gracias a Gayle, por señalar la falla fundamental en esto.

Dejo esta respuesta aquí en lugar de eliminarla en caso de que alguien se encuentre con esta pregunta y llegue a la misma conclusión que yo. Para obtener una respuesta más profunda sobre por qué esto es tan incorrecto, vea esta pregunta Math-StackExchange.

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No puedes! Este es el por qué:

El conjunto de números reales entre (0, 1) se conoce como un conjunto infinitamente incontable. Un conjunto que es incontable tiene la siguiente propiedad interesante:

Deje, [matemáticas] a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} (a \ neq b, c \ neq d) [/ math]. Si [math] S [/ math] es un conjunto infinitamente incontable; y [math] x [/ math] es un subconjunto infinitamente incontable de [math] S [/ math], que contiene todos los elementos en [math] S [/ math] en el intervalo [math] (a, b) [/ math ]; y [math] y [/ math] es otro subconjunto infinitamente incontable de S, que contiene todos los elementos de [math] S [/ math] en el intervalo [math] (c, d), [/ math] x e y tienen ¡la misma cardinalidad (tamaño)!

Entonces, por ejemplo, el conjunto de todos los números reales entre (0, 1) es en realidad exactamente el mismo tamaño que el conjunto de todos los números reales entre (0, 2). También tiene el mismo tamaño que el conjunto de todos los números reales entre (0, 0.00001). De hecho, si tiene un conjunto infinitamente incontable en el intervalo [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] a sin importar lo que elija para [matemática] n [/ matemática]. Esto es importante porque nos dice algo poco intuitivo sobre nuestra probabilidad en este caso.

Digamos que el primer número que eligió es 0.03. Puede pensar “Bueno, el 97% de los otros números posibles son mayores que esto, por lo que el otro número es probablemente mayor”. ¡Estarías equivocado! En realidad, hay exactamente tantos números entre (0, 0.03) como entre (0.03, 1). Incluso si eligió 0.03, la mitad de los otros números posibles son más pequeños que él, y la mitad de los otros números posibles son más grandes que él. Esto significa que todavía hay una probabilidad del 50% de que el otro número sea mayor, ¡y una probabilidad del 50% de que sea menor!

” Pero, ¿cómo puede ser eso? “, Preguntas, ” ¿por qué no es [matemática] [/ matemática] [matemática] \ frac {ab} {2} [/ matemática] el punto medio? [Matemática]” [/ matemática]

La verdadera pregunta es, ¿por qué creemos que [matemáticas] \ frac {ab} {2} [/ matemáticas] es el punto medio para empezar? La razón es probablemente la siguiente: parece tener más sentido para conjuntos discretos (finitos / infinitamente contables). Por ejemplo, si en lugar de los números reales, tomamos el conjunto de todos los múltiplos de [matemáticas] 0.001 [/ matemáticas] en el intervalo [matemáticas] [0, 1] [/ matemáticas]. Ahora tiene sentido decir que 0.5 es el punto medio, ya que sabemos que el número de números por debajo de 0.5 es igual al número de números por encima de 0.5. Si tratamos de decir que el punto medio es 0.4, encontraríamos que ahora hay más números por encima de 0.4 que por debajo de 0.4. Esto ya no se aplica cuando se habla del conjunto de todos los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]. Por extraño que parezca, ya no podemos hablar de tener un punto medio en [math] \ mathbb {R} [/ math], porque cada número en [math] \ mathbb {R} [/ math] podría considerarse un punto medio. Para cualquier punto en [math] \ mathbb {R} [/ math], los números arriba y los números debajo de él siempre tienen la misma cardinalidad.

Vea el artículo de Wikipedia sobre la cardinalidad del continuo.

Elegimos una de las hojas de papel al azar.

Después de esto, hay tres casos. Un caso es cuando elegimos un número mayor que [math] 0.5 [/ math]. En este caso, hay más cosas a la izquierda del número elegido y, por lo tanto, deberíamos esperar que el número sea más pequeño que el número dado. La probabilidad de que el número sea menor es [matemática] 0.5 + x [/ matemática] donde [matemática] 0 \ leq x \ leq 0.5 [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] es la distancia después del punto medio (0.5 )

Si el número está por debajo de [math] 0.5 [/ math], deberíamos esperar que el número sea mayor que el número dado. Del mismo modo, la probabilidad de este caso también es superior a [matemáticas] 50 \% [/ matemáticas]. Puede mostrar esto utilizando el mismo método utilizado anteriormente.

Es muy poco probable (e imposible en teoría) para nosotros seleccionar exactamente [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas] y, por lo tanto, podemos ignorar este caso.

Todas las respuestas que dan una estrategia y afirman que gana con una probabilidad superior a 0.5 hacen suposiciones sobre cómo se eligen los números que no forman parte de la pregunta.

Supongamos que los números se eligen de la siguiente manera. Elija x del intervalo abierto (0,1) uniformemente al azar. Luego lanza una moneda (justa). Si aterriza cara a cara, elija y de (x, 1) si no, elija y de (0, x), nuevamente de manera uniforme al azar.

Si los números se eligen así, está totalmente claro que cada valor posible que ve en la hoja es el número más grande con probabilidad exactamente 0.5 ya que esto solo depende del lanzamiento de la moneda y no de su valor. Por lo tanto, no puede existir una estrategia que se espere que sea correcta más de la mitad de las veces, si el único requisito es que los números deben ser distintos.

Juegas el juego hasta que se convierte en:

number_of_times_you_won > number_of_times_you_lost

y luego detente. Así que ahora has ganado el juego más de la mitad de las veces que jugaste.

(sin juego de palabras. Parece que solo puedes ganar más de la mitad de las veces)