Tengo mi aplicación ejecutándose en 10 tomcats separados y están accediendo a la misma base de datos. ¿Cómo puedo lograr la concurrencia en la modificación de filas, para que no haya dos servidores que puedan modificar la misma fila simultáneamente?

Simplemente use el bloqueo optimista con el manejo de errores adecuado. Debería proporcionarle el comportamiento requerido con una sobrecarga de rendimiento aceptable. Si está utilizando una capa ORM (como hibernación, etc.), debería ser muy fácil de hacer. De lo contrario, también puede administrar un bloqueo optimista en el lado de la aplicación, pero no es recomendable. Recomendaría un manejo confiable proporcionado por cualquier solución estable de orm. Dado que estamos en el tema de garantizar la consistencia de los datos, sería mejor asegurar el comportamiento transaccional también para todos los compromisos con los datos relacionados lógicamente.

PD: el bloqueo pesimista es otra opción, pero generalmente se evita debido a los cuellos de botella de rendimiento adicionales.
Algunos enlaces de referencia:
13. Transacciones y concurrencia
Control de concurrencia optimista basado en versiones en JPA / Hibernate

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