La mayoría de los ejemplos que he escuchado antes, que generalmente se mencionan como la “aplicación de análisis complejos a la ingeniería”, generalmente han sido:
i) solo usa [math] e ^ {jx} [/ math] para simplificar la noción de sin (x) y cos (x)
o
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ii) Aplicaciones para derivar valores de integrales reales
Me he estado preguntando si hay una verdadera razón para estudiar la teoría del análisis complejo, principalmente las fórmulas clásicas como la integración de Cauchy o los hermosos teoremas como el teorema de la identidad, como ingeniero.
Te mostraré un ejemplo que conecta muy elegantemente análisis complejos a la ingeniería eléctrica.
- Transformación de Hilbert
La transformación de Hilbert de una función [matemática] u (t) [/ matemática] podría pensarse como la convolución de [matemática] u (t) [/ matemática] con [matemática] 1 / \ pi t. [/ Matemática]
[matemáticas] \ hat {u}: = H (u (t)) = \ frac {1} {\ pi} pv \ int \ frac {u (\ tau)} {t- \ tau} d \ tau [/ matemáticas]
En el contexto del procesamiento de señales, la señal analítica se define de la siguiente manera:
[matemáticas] u_a (t) = u (t) + i \ hat {u (t)} [/ matemáticas]
Tiene aplicaciones masivas. (Ver la transformación de Hilbert – Wikipedia, Señal analítica – Wikipedia) La parte interesante de esta transformación es que podría derivarse de la teoría de las funciones analíticas. Consideremos una función analítica [matemática] F (z). [/ Matemática]
Esto significa que
[matemática] \ frac {\ parcial F (z)} {\ parcial z} = 0 [/ matemática] [matemática] z \ in \ mathbb {c} [/ matemática]
Está satisfecho. Cuando conocemos la parte real de [matemáticas] F [/ matemáticas] en el eje real, ¿podríamos determinar [matemáticas] F [/ matemáticas]?
[matemática] \ Re {F (t)} = u (t) [/ matemática] [matemática] t \ in \ mathbb {R} [/ matemática]
Usando la fórmula integral de Cauchy, sabemos que [matemáticas] F [/ matemáticas] podría determinarse hasta una constante:
[matemáticas] F (z) = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int \ frac {u (\ tau)} {\ tau-z} d \ tau. [/ matemáticas]
¡Esto es exactamente lo que hace la transformación de Hilbert! En [1], utilizan este hecho para extender la señal analítica a dimensiones superiores, con aplicaciones para el procesamiento de imágenes.
Otro ejemplo podría ser el uso de potenciales complejos. Usando los potenciales complejos, los multipolares magnéticos podrían describirse como polos con órdenes más altas en el plano complejo, y dando como resultado la derivación de algunos algoritmos de estimación interesantes. Puede ver Imai [2] para aplicaciones interesantes de análisis complejo, la teoría de las funciones holomórficas en particular, a problemas de física e ingeniería.
[1] Swanhild Bernstein, Jean-Luc Bouchot, Martin Reinhardt y Bettina Heise, “Señales analíticas generalizadas en el procesamiento de imágenes: comparación, teoría y sus aplicaciones”
[2] Imai Isao, “Funciones holomórficas y sus aplicaciones (japonés)”