El caso más simple de la teoría de números complejos es, por supuesto, solo usar el número imaginario [matemáticas] j [/ matemáticas] (en ingeniería eléctrica usamos [matemáticas] i [/ matemáticas] para suficientes cosas ya) con un número real para formar un número complejo [matemáticas] a + jb [/ matemáticas]. Esto nos permite escribir variables y funciones armónicas (que se repiten en el tiempo) en términos de frecuencia, y así simplificar las matemáticas con estas variables y funciones. Por ejemplo, si quisiera encontrar el campo magnético producido por un campo eléctrico que varía con el tiempo, es mucho más fácil hacerlo usando números complejos que solo números reales.
Los usos más comunes del análisis complejo, y no solo las variables complejas, es probable en la Transformada de Fourier y la Serie y sus aplicaciones. Se definen de la siguiente manera.
La Transformada de Fourier es:
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[matemáticas] \ displaystyle X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- j 2 \ pi ft} \, dt [/ math]
donde [math] t [/ math] y [math] f [/ math] son dos variables, pero se interpretan más comúnmente como tiempo y frecuencia, respectivamente. Es posible que haya visto lo anterior escrito en una forma ligeramente diferente antes, pero la idea general es tomar una función escrita en una variable y escribirla en términos de otra. El momento más útil para hacer esto es cuando [math] t [/ math] y [math] f [/ math] se interpretan como tiempo y frecuencia, como mencioné, aunque técnicamente pueden ser lo que quieras. Puede volver a cambiar sus variables usando un inverso, que es:
[matemáticas] \ displaystyle x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (f) e ^ {j 2 \ pi ft} \, df [/ math]
Juntas, estas dos funciones forman el par Transformada de Fourier.
La serie Fourier es la versión discreta de esto:
[matemáticas] \ displaystyle x (t) = \ sum_ {n = {- \ infty}} ^ \ infty X_n e ^ {jn 2 \ pi f_0 t} [/ math]
donde [math] X_n [/ math] son los coeficientes complejos constantes para cada [math] n [/ math] en la suma, y se pueden calcular de manera directa. El formulario Serie permite una explicación un poco más intuitiva de lo que está sucediendo, y es que estamos escribiendo una variable (en este caso, el tiempo) como la suma de las funciones ponderadas (ponderadas por [math] X_n [/ math]) [ matemática] X_n e ^ {jn 2 \ pi f_0 t} [/ matemática] de la otra variable [matemática] n f_0 [/ matemática]. Usamos [math] n f_0 [/ math] aquí en lugar de solo [math] f [/ math] para resaltar que estamos trabajando con un conjunto discreto de frecuencias y no uno continuo.
Estas representaciones son importantes porque tienen propiedades especiales que nos permiten simplificar enormemente el análisis. El uso de las propiedades es una aplicación bastante simple y específica del campo mayor de análisis complejo. Por ejemplo, si quisiera tomar la derivada de una función [matemática] x (t) [/ matemática], podría tomar su Transformada de Fourier [matemática] X (f) [/ matemática] y multiplicarla por [matemática] j 2 \ pi f [/ matemáticas]. A menudo esto será mucho más fácil que tomar una derivada directamente. O como otro, si quisiera modular una señal [matemática] x (t) [/ matemática] mediante una función [matemática] cos (2 \ pi f_0 t) [/ matemática] (es decir: prepararla para la transmisión de radio) I puede mostrar que esto da como resultado la creación de dos ‘versiones’ de la función en [math] X (f-f_0) [/ math] y [math] X (f + f_0) [/ math], que necesito ser cuidado porque mi señal dividirá su energía entre ellos y la versión de la función que no quiero usar podría causar interferencia con otros dispositivos electrónicos.
La Transformada y la Serie de Fourier y sus propiedades analíticas se usan muy comúnmente en telecomunicaciones, procesamiento de señales digitales, diseño electrónico y más. Como ejemplo práctico directo, utilicé el análisis de Fourier para modelar la dispersión de una señal digital que viajaba por una línea de microstrip mientras estaba en la escuela. La dispersión es el fenómeno de diferentes frecuencias que viajan a diferentes velocidades por un cable u otra línea de transmisión, y si no le presta atención, puede evitar que las señales en un circuito se envíen correctamente. El análisis de Fourier (y, por lo tanto, complejo) es fundamental para comprender la dispersión y poder corregirla.
Extendiendo las transformaciones de Fourier para que nuestra variable [math] f [/ math] sea compleja, obtenemos las transformaciones de Laplace y Z. Estos ahora le permiten hacer análisis de circuitos y usar la teoría de control para construir dispositivos electrónicos cada vez más complejos. Saber cómo lidiar con los diversos desafíos en la teoría de la señal, como la ubicación de los polos (lugares donde una función llega al infinito) y los ceros de una función que representa su circuito le permite construir filtros y amplificadores apropiados. También le dice cómo construir filtros digitales, usar anti-aliasing o datos de muestra si está procesando señales digitales. Nuevamente, es importante saber no solo cómo se ven las variables y funciones complejas, sino también cómo aplicar adecuadamente el análisis a estas variables y funciones para convertirlas en formas utilizables.
Podemos volvernos más extraños, con cosas como las funciones de Bessel y Hankel. Las funciones de Bessel del primer tipo (primer tipo que se refiere al primer ‘conjunto’ de funciones de Bessel) son soluciones a la ecuación:
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + x \ frac {dy} {dx} + (x ^ 2 – {\ alpha} ^ 2) y = 0 [/ math ],
donde [math] \ alpha [/ math] es un número complejo arbitrario (y proporciona los diferentes ‘conjuntos’ de funciones de Bessel). El caso cuando [math] \ alpha [/ math] es un número entero o medio entero da soluciones que pueden usarse al analizar problemas en coordenadas cilíndricas, como guías de onda cilíndricas (piense en un cable de fibra óptica). Estas soluciones son funciones complejas, tanto en el sentido matemático como en el sentido literal, y puede apostar que para comprender lo que le dicen necesita poder comprender números complejos al menos bastante bien. Las funciones de Hankel son combinaciones lineales complejas (solo el significado matemático) de las funciones de Bessel del primer y segundo tipo. Afortunadamente, las personas y las computadoras han hecho la mayor parte del trabajo preliminar con estas funciones y hoy en día solo puede usar datos tabulados o llamar a un programa o método de función Bessel prefabricado en MATLAB o python, pero se utilizó un análisis complejo para crear esos datos y esos programas en el primer lugar.
Luego están las funciones de Green, que técnicamente no tienen que ser complejas, pero casi siempre lo son. Las funciones de Green nos permiten escribir funciones (digamos el campo eléctrico) como la suma de las respuestas de impulso debido a una colección de fuentes (digamos un montón de cargas en un cable). Esto nos permite resolver problemas complicados numéricamente en una computadora, utilizando métodos como el Método de Momentos para calcular campos electromagnéticos radiados y dispersos. Para justificar el uso de estas funciones y derivarlas, necesitamos emplear análisis complejos para encontrar soluciones a cosas como la ecuación de Helmoltz.
Es cierto que, en la mayoría de los casos, nadie necesita realizar análisis complejos rigurosos para cada nuevo problema que resuelven. En cambio, es necesario comprender un análisis complejo para que los ingenieros puedan aplicar esas soluciones generales que ya se han descubierto y saber cómo construir mejores sistemas. Como último ejemplo, no hago mucho análisis complejo matemático directo en mi trabajo. Pero uso programas que emplean técnicas de análisis complejas y, al final del día, necesito saber si los datos que crean mis simulaciones son posibles o no. Ya una vez tuve que enviar un informe de error cuestionando los resultados que estaba obteniendo, y se confirmó que el algoritmo de interpolación que el programa estaba usando para calcular las fases complejas de algunas variables tenía fallas. Aquí, aunque no estaba haciendo ninguna matemática, estaba empleando mis conocimientos de análisis complejo para resolver un problema de ingeniería.
Y esto sigue siendo una muestra bastante pequeña de ejemplos, centrados completamente en ingeniería eléctrica. ¡El análisis complejo es un campo importante muy utilizado!