Este problema se presta a la formulación recursiva con bastante facilidad, podría equivocarme, amablemente corregir / comentar si se encuentran errores.
formas (d [i: n], k, j): = if (i = ny ((k + j = 0) o (kj = 0))) 1;
más si (i = n) 0
maneras (d [i: n], k, j): = formas (d [i + 1: n], kj, d [i + 1]) + formas (d [i + 1: n], k + j , d [i + 1]) + formas (d [i + 1: n], k, jd [i + 1])
llamados como formas (d [1: n], k, d [1])
Aquí k es la suma que desea y j es el número temporal actual formado al empalmar el número original desde la posición donde se agrega el último operador y el siguiente operador (‘.’ Se usa como operador de adición). Estoy haciendo la suma o resta del último operador al agregar el siguiente operador.
Creo que se puede memorizar y / u optimizar.
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En cuanto a la parte de la extensión porque desea saber la cantidad de formas en que la suma es divisible por k, por lo que todo lo que necesita hacer es seguir el resto de la suma hasta el momento cuando se divide por k, por lo que cada vez solo suma o resta y modula it (tenga cuidado con el número negativo mientras modula).