¡Absolutamente sí!
¡Es la geometría de la relatividad especial!
Si introducimos la rapidez [matemáticas] \ beta [/ matemáticas] a través de
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[matemáticas] \ dfrac {v} {c} = \ tanh \ beta, \ tag * {} [/ matemáticas]
entendemos que el factor Lorentz se convierte en:
[matemáticas] \ gamma = \ dfrac {1} {\ sqrt {1 – \ tanh ^ 2 \ beta}} = \ sqrt {\ dfrac {\ cosh ^ 2 \ beta} {\ cosh ^ 2 \ beta – \ sinh ^ 2 \ beta}} = \ cosh \ beta. \ Tag * {} [/ math]
Las transformaciones de Lorentz se convierten en:
[matemáticas] \ begin {align *} x & = x ‘\ cosh \ beta + ct’ \ sinh \ beta \\ ct & = x ‘\ sinh \ beta + ct’ \ cosh \ beta \ end {align *} \ etiqueta * {} [/ math]
En forma matricial:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} x \\ ct \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cosh \ beta & \ sinh \ beta \\ \ sinh \ beta & \ cosh \ beta \\ \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x ‘\\ ct’ \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]
¿Esto te recuerda algo? ¡Esta es una rotación hiperbólica! ¡Las transformaciones de Lorentz son solo rotaciones hiperbólicas!
La invariancia del intervalo [matemáticas] x ^ 2 – c ^ 2t ^ 2 [/ matemáticas], se deduce directamente de la identidad hiperbólica fundamental:
[matemáticas] \ cosh ^ 2 \ beta – \ sinh ^ 2 \ beta = 1 \ tag * {} [/ matemáticas]
La fórmula de adición para velocidades sigue inmediatamente como las fórmulas de adición para ángulos. Esta es la fórmula en su forma normal.
[matemáticas] u = \ dfrac {y ‘+ v} {1 + \ frac {u’v} {c ^ 2}} \ tag * {} [/ matemáticas]
Si ahora miramos la rapidez de [math] u [/ math] y [math] v: [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {u} {c} & = \ tanh \ alpha \\ \ dfrac {v} {c} & = \ tanh \ beta \\ \ end {align *} \ tag * {}[/matemáticas]
Ahora la velocidad resultante es simplemente
[matemáticas] \ dfrac {u ‘} {c} = \ tanh (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {\ tanh \ alpha + \ tanh \ beta} {1 + \ tanh \ alpha \ tanh \ beta} \ tag *{}[/matemáticas]
¡La lista continua!
La geometría hiperbólica es la geometría de la relatividad especial.
Para leer más, sugiero ‘La geometría de la relatividad especial’ de Tevian Dray.